土的本构理论与模型研究的困难与探索

2019-07-25 08:55  来源:岩土网  阅读:3669
土的本构模型是现代土力学的核心和关键,虽然已历经了50多年的发展,但要达到好的工程应用尚有距离。是什么原因影响着土的本构模型的发展呢?这是学界普遍关注的问题。杨光华1991年提出了现在称为广义位势理论的本构理论(《高等土力学》,李广信,2002),并持续进行了多年的研究与探索,对促进土的本构模型的研究有很好的参考意义。这里发表杨光华教授团队近30年来对这个问题的思考和探索,希望能为大家提供参考。

土的本构理论与模型研究的困难与探索

杨光华1,2

(1. 广东省水利水电科学研究院,广东 广州 510610;2. 广东省岩土工程技术研究中心,广东 广州 510610)

土的本构模型是土力学未来发展的核心,也是现代土力学发展的瓶颈。自从1963年剑桥大学Roscoe教授等在塑性力学理论基础建立了土的剑桥弹塑性本构模型以来,50多年过去了,虽然取得了很大的进步,建立了数以百计的本构模型或更多,但其真正在工程设计中能像规范标准这样作为设计依据的应用还很少,多数还只是作为工程设计的参考。现代科技的发展,已解决了数学计算的困难,现代土力学理论的发展,关键还是要解决好土的本构模型,提高工程计算的准确性,使设计更科学合理。土的本构理论与模型历经了半个多世纪的发展,目前也是遇到了发展的瓶颈。

那么,接下来该如何发展呢?制约发展的困难何在?突破口在哪里?是值得我们认真思考的一个问题。为此,对多年的研究探索做了一下梳理和思考,希望能抛砖引玉,促进现代土力学的发展:

一.什么是土的本构模型?

二.如何开展研究的?

三.有什么困难?

四.应如何发展?

一.什么是土的本构模型?

狭义的土的本构模型是指土的应力与应变关系方程。对于分量而言就是六个分量应力图片未命名与应变图片未命名的关系:

图片未命名

通常土是非线性材料,一般用增量应力和应变关系表示:

图片未命名

土的本构模型的研究就是建立(1)或(2)式的应力应变关系方程。

二.如何进行土的本构模型的研究?

以上式(1)或式(2)是六维的应力分量与应变分量的关系,如果我们通过试验,获得了6个应力分量和6个应变分量对应关系的试验结果,则对试验结果采用数学拟合或统计就可以建立其数学关系方程了。但实际上,我们不能通过试验直接得到六个分量应力与应变的关系,试验最多只能在主空间上实现,所以通常最多也只能得到主空间上3个主应力图片未命名与3个主应变图片未命名的关系:

图片未命名

这样(3)或(4)式总是可以通过试验所得到的。但当我们进行数值计算时所需的是(1)或(2)式的六个分量应力与应变的方程。如何由主空间上的(3)或(4)式得到所需的一般空间下的(1)或(2)式呢?其实这是一个数学问题。通常所说的本构理论就是在各种假定条件下建立的由主空间(3)、(4)式推广到一般坐标系下(1)、(2)式的数学表达式。

因此,所谓的本构模型的研究要解决的问题就是两个:一个就是如何通过试验合理方便的确定主空间的本构方程(3)、(4),因为即使是三维空间,也有很多变化,有不同的应力路径、不同的应力或应变状态的组合,不同的组合得到的关系也可能是不同的,这样就要通过试验发现其本构的特性,选择合适的试验方案,获得试验曲线,然后用数学拟合或统计的方法获得主空间的应力应变关系方程(3)、(4)式。当研究的材料比较简单时,则可以用简单的试验确定其关系,如对于各向同性线性材料,则应力与应变的关系即为广义虎克定律:

图片未命名

这种材料只有弹性模量E和泊松比V两个参数,在主空间上试验确定这两个参数就可以了。

二是建立各种由主空间到一般坐标空间的转换方法,即构成了各种本构理论。如弹塑性的塑性位势理论,各种非线性弹性理论等。

或也可以采用直接的数学坐标变换方法等。

所以,土的本构模型的研究其实就是两个问题:一是通过试验解决主空间上的关系,二是建立由主空间到一般坐标空间的变换关系,这种变换其实就是本构理论(杨光华,1990)。

三.土的本构模型研究的困难和解决方法

1.主空间规律性的研究

土的变形特性的复杂性只能通过试验的方法来揭示,目前已知的主要特性就有:非线性、弹塑性、压硬性、剪胀性、应力路径相关性等。

主空间规律性的研究就是通过试验揭示其更多的力学特性,如压硬性、剪胀性,非线性等。这些都是岩土材料特有的特性。

主空间上通过试验获得规律,然后用数学拟合或统计的方法表示其规律,建立拟合方程。不同的数学拟合方法与不同的本构理论的结合,则得到不同的本构模型。主空间的数学拟合方法有直接拟合法,通常较多的是用经验函数去拟合试验结果,典型的如Duncan-Chang模型,是建立于广义虎克定律基础上,采用经验函数双曲线函数拟合试验曲线,然后由拟合曲线方程求取广义虎克定律的两个参数E、ν。弹塑性模型通常是依据弹塑性本构理论的要求,通过主空间上的试验去确定塑性势函数、硬化规律等,当假设不同的塑性势函数或用不同的硬化函数时,则得到不同的弹塑性模型。

2.本构理论的研究

各种本构理论其实就是一个数学上的坐标变换方法,这是本构理论研究的一个重要的新认识。

杨光华(1991)从张量分析的角度得到,当两个二阶张量图片未命名的主方向一致时,则存在数学上的变换关系:

图片未命名

反之:

图片未命名

图片未命名为二阶张量的三个主值,当应力与应变主方向一致时,则可有

图片未命名

另一方面,也可以从数学矢量拟合的角度建立用势函数表述的坐标变换关系。假设在一个三维坐标空间上表达一个已知的应变矢量图片未命名,在应力空间可以采用三个线性无关的势函数图片未命名的梯度矢量来拟合这一个已知矢量:

图片未命名

      当图片未命名图片未命名主轴方向相同时,则由(9)式有

图片未命名

      把(10)式代入(11)式,则得到:

图片未命名

      如果矢量图片未命名在主应力空间上是一个有势场,则可以用单一的一个势函数表示图片未命名

图片未命名

      将其代入(11)式则由上式得到

图片未命名

      这就是传统的弹性位势理论,也称为格林(Green)超弹性理论。以往多是从能量角度推导得到,Q即是弹性势能函数。而这里是从数学的方法得到,从数学方法得到我们就可以清楚其作了什么样的数学假设,其实它是一定数学假设条例下的特殊情况,这样,应用时就清楚了其适用的条件和范围。 

      在式(12)中,图片未命名可以表示为三个应力不变量图片未命名的函数,展开得到

图片未命名

      进一步展开就是通常的柯西(Cauchy)本构理论,同样,Green理论也是其一种特例。


      假设对于塑性应变增量图片未命名也把其看作为应力空间上的一个三维矢量。同样可以用三个线性无关的势函数图片未命名的梯度矢量来拟合


图片未命名

      假设塑性应变增量与应力总量主方向一致,则由以上的分解准则(9)式可以有

图片未命名

      把(16)式代入上式(17)中,则有

图片未命名

      这就是杨光华(1991)提出的广义(塑性)位势理论之一,当然主空间的广义位势理论也可以在应变空间中表述,也可以用塑性应力增量图片未命名表述:

图片未命名


      这样,式(18)到式(21)就构成了一套系统对偶的广义位势理论体系。当图片未命名是一个有势场矢量时,则可以采用单一的一个势函数Q的梯度矢量拟合,

图片未命名

      同样,假设塑性应变增量与应力总量主方向一致,则由以上的分解准则(9)式可以有


图片未命名

      把(22)代入(23),则可得到:

图片未命名

      这就是通常的塑性位势理论,Q即是塑性势函数,是广义位势理论的特例,这里也是通过数学的方法而得到的,与传统的塑性位势理论得到的方法不同。从数学方法上,则我们可以知道,传统的塑性位势理论是有两个数学假设的:一是图片未命名一个有势场矢量,二是假设了塑性应变增量方向与应力总量主方向是一致的。可见,我们常用的弹塑性本构理论其数学背景是一个特殊的数学坐标变换方法。同样也可有应变空间上的数学关系,如:

图片未命名

同样,对于塑性应力增量图片未命名也有应变空间和应力空间的正交关系:

图片未命名

(24)—(27)就是杨光华(1988)提出的广义塑性位势理论。

这就是本构理论的数学原理。本构理论的实质其实就是解决主空间到一般坐标空间的一个数学变换的方法,传统的各种本构理论都可以这样用数学的方法统一来得到。数学变换主要是有两种形式,一种是应力与应变总量的主方向一致的分解准则,或者是增量与增量主方向一致的分解准则,或称同级分解准则,另一种是增量与总量主方向一致的分解准则。广义虎克定律是最简单的同级线性分解准则,数学背景是应力增量和应变增量主方

向相同的最简单形式。传统塑性位势理论是假设了塑性应变增量与应力总量主方向一致的数学条件而得到的,是增量与总量主方向一致的分解准则。

四. 如何构建土的本构模型?

目前应用较多的模型主要是两种,一是建立于广义虎克定律基础上的增量非线性模型,经典的如Duncan-Chang模型;二是建立于经典弹塑性理论基础上的弹塑性模型,经典的如剑桥模型。

以广义虎克定律为基础的各种模型均是通过主空间的试验求两个参数图片未命名,用广义虎克定律即可得到六个应力与应变分量关系的本构方程。关键是采用什么的试验和用什么样的函数来拟合试验曲线。

弹塑性模型过去多是设法去推求塑性势函数和求取硬化参数。传统塑性理论中通过Drucker公设,得到屈服函数与塑性应变增量方向具有正交关系,与塑性位势理论的数学条件一致,这样就可以用屈服函数代替塑性势函数。因为对于金属材料,其具有明显的屈服点,屈服函数易确定,但对于岩土材料,没有明显的屈服点,难以明确确定屈服函数,于是就只能利用数学正交条件,由塑性应变的增量方向反推求塑性势函数,求得塑性势函数和和塑性势函数随塑性应变而变化的规律,即硬化规律,再用弹塑性本构理论构建弹塑性矩阵。最典型的是剑桥模型和清华模型,但这种求塑性势函数的方法除剑桥模型相对简单外,其他各种弹塑性模型都过于复杂,工程实践中较少得到应用。同时这种建模方法对土的剪胀反映不太够理想。广义虎克定律也不能反映土的剪胀。

广义虎克定律采用拟合试验曲线的方法求模型参数,简单直观,弹塑性模型表述能力强但复杂,硬化土模型(Harding soil model)是结合了两者的优点的模型,用双曲线表述试验曲线,用弹塑性理论构建刚度矩阵。

1. 用广义位势理论构建统一的本构模型

有限元等数值方法最终需要的是六维应力与应变分量关系的计算矩阵。按广义位势理论有:

图片未命名            

势函数为应力不变量的函数图片未命名,忽略图片未命名的影响,则为图片未命名,代入(28)式得

图片未命名

这样,并不需要通常的塑性势函数或数学势函数。

设主空间上试验拟合所得方程为:

图片未命名

同时通过回弹试验得到弹性矩阵为图片未命名,则由(29)~ (31)建立六维的本构关系,可以直接利用图片未命名四个参数建立统一的本构模型计算矩阵:

图片未命名

图片未命名     


    图片未命名

这样,只要有图片未命名四个参数即可以建立弹塑性的计算矩阵,不需要像通常的弹塑性模型那样去推求塑性势函数和硬化参数等。

显然,上式在一定的条件下又可退化为传统的弹塑性本构模型。例如:

图片未命名,则退化为传统的关联流动弹塑性模型。剑桥模型、修正剑桥模型满足这个关系。

图片未命名,则退化为传统的非关联流动弹塑性模型。

图片未命名数学上的意义就是p-q空间上塑性应变的二阶矩阵是非满秩的矩阵,物理力学意义就是塑性应变增量方向与应力增量方向无关。

图片未命名,则表示塑性应变增量方向与应力增量方向有关,说明模型可以反映塑性应变增量方向与应力增量方向相关的特性。

可见,广义位势理论用于建立弹塑性模型更具一般性,且无需传统的弹塑性理论那样需要去推求塑性势函数的麻烦,可以统一建立计算弹塑性矩阵,当图片未命名满足一定的数学条件时,则退化为传统弹塑性理论的简单模型,可见其能表述更广泛的本构特性。

还可以由(21)式构建应变空间的本构模型的统一计算矩阵(杨光华,1996),本构模型的参数也是图片未命名

2.主空间上广义位势模型参数的确定

利用广义位势理论建立本构模型,最后都是回到主空间上确定模型参数。以p-q空间为例,最后表达式都是相同的形式:

图片未命名

考虑弹性变形,则变成:

图片未命名

      图片未命名为线弹性体积模量和剪切模量。

或写成

图片未命名

广义虎克定律时:图片未命名可由图片未命名图片未命名表达。这样,只要通过主空间试验确定

图片未命名这四个参数即可以。关键问题是:

用什么样的应力路径试验或试验方案来确定这几个系数呢?

土存在应力路径相关性,不同的应力路径试验获得的参数有差异,而实际工程中各点的应力路径可能都不同,但是不可能对所有点的应力路径进行各种试验。采用的试验方案应是:一是要反映主要应力路径;二是试验要简单易实现;三是取决于模型参数的多少,当模型的参数多时,则要采用更多的不同应力路径的试验才能确定。可以有以下一些方法:

1) 拟合试验方法

由p-q空间的试验,可以拟合得到以下方程:

图片未命名

对其求导,可得:


图片未命名

这样,对比(36)-(39)即可以得到图片未命名这4个参数。

2). K-G模型法

通常的K-G模型可以得到以下的一般关系:

图片未命名

如果进一步分解出塑性应变增量

图片未命名

则可以得到:

图片未命名

这个方法可以通过图片未命名反映土的剪胀性。


3). 图片未命名 模型法

对于弹塑性模型,弹性参数图片未命名图片未命名可以用卸载试验确定,对于图片未命名这4个参数,相当于要有4个独立方程才能确定。但当采用一定的假设后,就可以简化,如假设符合关联流动法则,则可获得两个已知方程:图片未命名,这样4个参数只需再补充两个方程,这样就由4个方程可以确定4个独立参数了,这时可以像Duncan-Chang模型一样,采用图片未命名. 的常规三轴试验并拟合试验结果,可以得到图片未命名两个参数,补充了两个方程,其参数确定与Duncan-Chang模型相同,此时与Duncan-Chang模型不同的是,这里可以允许泊松比图片未命名,从而可以表述土的剪胀特性;当由常规三轴试验得到图片未命名两个参数时,由常规三轴试验的应力条件,由(46)、(48)可以得到(47)、(49)的两个补充方程:

图片未命名

联合图片未命名这两个方程求解,即可以得到图片未命名这四个参数(杨光华,1993)。

当只有图片未命名时,则要增加一个试验。同样,如对图片未命名这4个参数不做任何假设限定,则需要有4个独立参数的试验。      

4).类剑桥模型方法

当假设图片未命名这4个参数满足关联流动法则时,则有:

图片未命名

由这两个已知方程可以减少两个未知参数,引入参数β,

图片未命名

这样(34)、(35)式可以改写为:

图片未命名

这样只有A和β两个参数。参考剑桥模型的方法,这两个参数可以用三向压缩试验和破坏线上的塑性变形特点来确定。


图片未命名轴上,图片未命名,由压缩试验得:图片未命名 ,临界线CSL上图片未命名,要求:A=0,可以构造图片未命名

图片未命名:P轴上,图片未命名,A已知,则必须β=∞,临界线CSL上图片未命名,要求β=0这样构造图片未命名可以满足。几何意义如图所示。

图片未命名

这样就可以得到A、β两个参数的一种形式:

图片未命名

代回(52)式即得到:

图片未命名

从而可以得到图片未命名这4个参数(杨光华等,2013)。

修正剑桥模型相当于取

图片未命名,其满足了数学条件:p轴上图片未命名M=η时,A=0,β=0。其相应p-q空间上的关系式:


图片未命名


而原剑桥模型则相当于取:图片未命名 。显然,原剑桥模型不满足p轴上η=0时β=∞的条件,即在p轴上有图片未命名,这是不符合试验结果的。其相应p-q空间上的关系式:

图片未命名


这样,通过剑桥模型,我们也可以得到图片未命名这4个参数。同时,在这里,我们无需像传统剑桥模型那样通过假设不同的能量函数来推导建立了,而可以从数学上更直观方便的建立,并且可以更清楚剑桥模型的数学背景。

这样,按广义位势理论,只要通过p-q空间的试验,然后拟合试验曲线,确定弹性矩阵图片未命名和A、B、C、D这四个参数,然后直接代入(35)式即可得到土的本构模型方程的计算矩阵,直观方便、理论明确,不需要像传统的弹塑性理论那样去推求塑性势函数和硬化参数等。这样不仅简单方便,并且可以建立更具普遍性的本构模型。

这样,按广义位势理论建立模型,土的本构模型的研究就剩下如何选择主空间的试验方案和采用什么样的数学方程拟合主空间的试验曲线来确定A、B、C、D这四个参数的问题了。

而依据传统弹塑性本构理论所建立的模型中,由于不同的人采用了不同的塑性势函数和不同的硬化参数,从而产生了众多的不同模型。同时,由于传统的弹塑性本构理论是对A、B、C、D这四个参数作了一些假设限定的,如关联流动模型假设了:图片未命名,非关联流动模型假设了:图片未命名,但实际土的试验结果可能是不符合这些假设的,如果还是采用这些理论去表述,显然是不合理的,但又希望能使表述结果与试验结果更接近,这就势必会构造更复杂的模型,试图去符合试验结果,就如人们想用广义虎克定律构建的模型去表述土的剪胀性那样,势必会构造复杂而别扭的模型,但结果并不理想,因为土的变形特性已经超出了理论的表述能力了,而科学正确的做法就是创造具有更好表述能力的新理论,才能更好的解决问题。

3.土的本构模型研究的困难:

1) 目前剪胀性表达没有很好解决

以广义虎克定律为基础的模型限定了泊松比图片未命名,是不能反映土的剪胀性的,土的剪胀是指泊松比图片未命名的情况。传统的剑桥弹塑性模型主要是表述剪缩特性的,也是不能反映土的剪胀性的,后人做了一定的扩展,在一定程度上可以反映剪胀性。也有在Zienkiewicz广义塑性模型的基础上建立一些考虑剪胀性的新模型,直接用塑性流动方向建模,避免了求塑性势函数,但其本质还是传统的弹塑性本构理论。其实在广义位势理论基础上可以很方便的建立剪胀模型,可以直接数学拟合p-q空间上具有剪胀性的试验曲线,获得A、B、C、D四个参数即可以建立剪胀模型,当在广义位势理论基础上引入传统理论的关联流动假设时,即假设AD-BC=0,B=C,这时只需要像Duncan-Chang模型那样确定切线模量Et和泊松比图片未命名即可建立模型,当出现剪胀时则泊松比可以图片未命名,从而可以简便有效的建立反映剪胀性的模型。

2) 原状性没有解决

除了水利工程的筑坝材料是人工填筑的材料外,大部分土木工程遇到的是天然形成的岩土材料。岩土本构模型通常是通过钻孔取样进行室内试验确定模型的参数,这就存在着取样扰动的影响,使室内土样与现场土样不同,由此获得的模型参数与现场土参数存在差异,从而影响模型的准确性。同样,即使是大坝的人工填土,现场碾压的结果与室内试验模拟的也可能存在差异,对于通常的堆石坝,则室内试验的颗粒尺寸要远小于现场碾压的石料尺寸,室内也很难模拟真实尺寸和碾压的情况,这些都影响模型参数与实际情况的差异。有必要发展适合于现场原位试验的本构模型,或通过原位试验和工程实测结果率定本构模型的参数,可能是提高模型计算准确性的途径。

3) 选择合适的试验确定A、B、C、D四个参数

由于岩土材料的复杂性,影响因素多,如何选择合适的试验方案来确定这四个参数,可能要根据工程土体的受力状态,应力路径等综合设计试验方案,这可能要根据具体工程情况来考虑会更合适,也是需要进一步研究的问题。另一方面,土的复杂性是否还存在人们没有认识到的特性?如果还有人们没有认识到的特性,一旦工程中遇到会出现超出人们认识的特性时,也会存在风险,因此,也还需要深入试验,更多的揭示和认识土的变形特性,如主轴旋转的影响、次生各向异性、小应变特性等。

4) 缺乏边值问题的验证

由以上的研究可知,土的本构模型研究分为主空间的研究和本构理论的研究两部分,目前通常的模型验证主要是在主空间上来验证比较模型预测与试验结果,这实际上只是验证了主空间的研究,对本构理论的假设不能验证。应该采用边值问题来比较,才可以验证两部分。但对于实际工程,由于现场地质分布的不均匀性和现场土体的结构性,用取样室内试验确定模型参数用于现场原位边值问题,也还是不一定合适。可能采用室内边值模型试验来验证会比较合适,均匀性也容易实现,土样与模型土的一致性也易控制一些。因此,如能组织边值模型试验用于验证可能比现在通常用主空间的土样试验验证更有意义一些。

五、结论

1. 土的本构模型的研究分为两个内容:一是主空间的试验和试验结果的数学拟合,二是把主空间的试验结果转换为数值计算所需的六个应力分量与应变分量的关系,第二个问题即是本构理论问题。

2. 土的本构理论与模型研究的困难在于我们对土的变形特性和规律的认识还不够全面,同时以往采用传统的本构理论只是一种特殊理论,用于表述土的变形特性的能力不足,需要发展和采用新的更具普遍性的理论。

3. 从数学原理角度建立的广义位势理论是更具普遍性的本构理论,解决了由主空间到一般空间转换的本构理论问题,传统的本构理论只是特例。从数学原理出发建立的本构理论可以更清楚所采用的本构理论所作的数学物理假设,明确其适应条件,如传统的以塑性位势理论为基础的弹塑性本构理论,其作了两个假设:一是假设了塑性应变增量矢量场是一个有势场,二是假设增量塑性应变主方向与应力全量主方向相同,是广义位势理论的特例。

4. 可以采用广义位势理论建立一个更普遍适用的本构方程,这样本构模型的研究就剩下如何由主空间确定四个模型参数A、B、C、D的问题了,从而使本构模型的构建既简化又更具普遍性。

5. 要使模型能用于工程设计,需要提高模型计算的准确性,要解决模型参数确定的可靠性的问题。由于通常的模型参数是由室内试验确定的,存在取样扰动和室内试验与现场样品的差异等的影响,会使室内土样试验得到的参数与现场土存在差异,要提高模型参数的可靠性,需要发展原位试验确定或率定模型参数的方法。同时,要使模型能在工程中得到推广应用,还需要构建参数少易确定精度好的实用模型。  

6. 本构模型的验证,仅只是在主空间进行验证还是不够的,全面的验证应该要采用边值问题来验证,即要验证主空间上的规律和本构理论两个方面。

7. 还需要深入试验研究,全面认识和揭示土的变形特性。

主要参考文献:

[1] 杨光华,李广信,介玉新著《土的本构模型的广义位势理论及其应用》[M],北京:中国水利水电出版社,2007年

[2] 李广信 《高等土力学》[M],北京:清华大学出版社,2002.

[3] 杨光华. 建立弹塑性本构关系的广义塑性位势理论[A]. 第三届全国岩石力学数值计算与解析方法讨论会论文集[C]. 1988

[4] 杨光华. 岩土类工程材料应力~应变本构理论的基本数学问题[A]. 岩土力学数值方法的工程应用——第二届全国岩石力学数值计算与模型实验学术研讨会论文集[C]. 1990

[5] 杨光华,岩土类材料的多重势面弹塑性本构模型理论,岩土工程学报,1991年第5期。

[6] 杨光华. 岩土类工程材料本构关系的势函数模型理论[A]. 第四届全国岩石力学数值计算与解析方法讨论会论文集[C]. 1991

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[9] 杨光华,一个无需塑性势函数的新的土体弹塑性本构模型,《水工结构工程理论与应用》,大连海运学院出版社,1993年6月。

[10] 杨光华,岩土类工程材料本构方程的一个张量普遍形式定律,《水工结构工程理论与应用》,大连海运学院出版社,1993年6月。

[11] 杨光华,土的数学本构理论的研究(综述报告),第二届全国青年岩土力学与工程会议论文集,大连理工大学出版社,1995年9月。

[12] 杨光华. 21 世纪应建立岩土材料的本构理论[J].岩土工程学报. 1997(03)

[13] 杨光华,土体材料本构特性的数学分析,第六届全国岩土力学数值分析与解析方法讨论会论文集,1998年8月。

[14] 杨光华,介玉新,李广信,黄文峰,土的多重势面模型及验证,岩土工程学报,1999年第5期。

[15] 杨光华,李广信,岩土本构模型的数学基础与广义位势理论,岩土力学,2002年第5期。

[16] 杨光华,李广信,从广义位势理论的角度看土的本构理论的研究,岩土工程学报,2007年第4期。

[17] 杨光华,岩土材料不符合Drucker 公设的一个证明,岩土工程学报[J],2010年第1期。

[18] 杨光华,温勇,钟志辉. 基于广义位势理论的类剑桥模型[J].岩土力学. 2013(06)

[19] 杨光华,姚捷,温勇. 考虑拟弹性塑性变形的土体弹塑性本构模型[J].岩土工程学报. 2013(08)

[20] Guang-hua Yang,Yu-xin Jie and Guang-xin Li,A Mathematical  Approach to Establishing Constitutive Models for Geometerials[J], Journal of Applied Mathematics, Volume,2013,Article ID 739068,10 pages. http//dx.doi.org/10.1155/2013/739068.

[21] 杨光华,土的现代本构理论的发展与回顾展望,岩土工程学报,2018年第8期。

[22] 郭万里,朱俊高,彭文明,粗粒土的剪胀方程及广义塑性本构模型研究,岩土工程学报,2018年第6期。

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  • 18330382348发表于 08月09日 10:24这家伙很懒,没有个性签名!
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  • a67216928发表于 07月25日 16:39这家伙很懒,没有个性签名!
  • 太高深了,看不懂
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阅读(11659)2019-02-12
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